Уравнения Максвелла

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, эти уравнения образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных) линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных и псевдовекторных функций (${\displaystyle \mathbf {D} ,\;\mathbf {E} ,\;\mathbf {H} ,\;\mathbf {B} }$). Запись уравнений Максвелла и других законов электродинамики отличается в различных системах единиц➤; в связи с этим все соотношения далее приводятся в двух вариантах — в международной системе единиц (СИ) и в симметричной гауссовой СГС, если они по-разному записываются в этих системах.

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho }$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$	Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	Магнитные заряды не обнаружены.
Закон индукции Фарадея	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.
Теорема о циркуляции магнитного поля	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные и псевдовекторные величины, курсивом — скалярные.

Введённые обозначения:

• ${\displaystyle \rho \ }$ — объёмная плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);
• ${\displaystyle \mathbf {j} }$ — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как ${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {u} \rho _{1}}$, где ${\displaystyle \mathbf {u} }$ — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, ${\displaystyle \rho _{1}}$ — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с ${\displaystyle \rho }$); в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;
• ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);
• ${\displaystyle \mathbf {E} }$ — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);
• ${\displaystyle \mathbf {H} }$ — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);
• ${\displaystyle \mathbf {D} }$ — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);
• ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с⁻²•А⁻¹);
• ${\displaystyle \nabla }$ — дифференциальный оператор набла, при этом:

  ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E} }$ означает ротор вектора ${\displaystyle \mathbf {E} }$,

  ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E} }$ означает дивергенцию вектора ${\displaystyle \mathbf {E} }$.

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$, ${\displaystyle \mathbf {D} }$, ${\displaystyle \mathbf {H} }$ и ${\displaystyle \mathbf {j} }$ и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

При помощи формулы Остроградского — Гаусса и теоремы Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса	${\displaystyle \oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q}$	${\displaystyle \oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =Q}$	Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме, ограниченном этой поверхностью.
Закон Гаусса для магнитного поля	${\displaystyle \oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0}$	${\displaystyle \oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0}$	Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не обнаружены).
Закон индукции Фарадея	${\displaystyle \oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} }$	${\displaystyle \oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =}$ ${\displaystyle -{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} }$	Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность ${\displaystyle s}$, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре ${\displaystyle l}$, который является границей поверхности ${\displaystyle s}$.
Теорема о циркуляции магнитного поля	${\displaystyle \oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =}$ ${\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} }$	${\displaystyle \oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =}$ ${\displaystyle I+{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} }$	Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность ${\displaystyle s}$ пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре ${\displaystyle l}$, который является границей поверхности ${\displaystyle s}$.

Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введённые обозначения:

• ${\displaystyle s\ }$ — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём ${\displaystyle v\ }$, и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ${\displaystyle l\ }$).
• ${\displaystyle Q=\int \limits _{v}\rho \,dv\ }$ — электрический заряд, заключённый в объёме ${\displaystyle v\ }$, ограниченном поверхностью ${\displaystyle s\ }$ (в единицах СИ — Кл);
• ${\displaystyle I=\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \ }$ — электрический ток, проходящий через поверхность ${\displaystyle s\ }$ (в единицах СИ — А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади ${\displaystyle d\mathbf {s} }$ направлен из объёма наружу. Ориентация ${\displaystyle d\mathbf {s} }$ при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по ${\displaystyle d\mathbf {l} }$.

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H} }$ являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

Сила Лоренца

Основная статья: Сила Лоренца

При решении уравнений Максвелла распределения зарядов ${\displaystyle \rho }$ и токов ${\displaystyle \mathbf {j} }$ часто считаются заданными. С учётом граничных условий и материальных уравнений это позволяет определить напряжённость электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и магнитную индукцию ${\displaystyle \mathbf {B} }$, которые, в свою очередь, определяют силу, действующую на пробный заряд ${\displaystyle q}$, движущийся со скоростью ${\displaystyle \mathbf {u} }$. Эта сила называется силой Лоренца:

СГС	СИ
${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]}$	${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]}$

Электрическая составляющая силы направлена параллельно электрическому полю, а магнитная — перпендикулярна скорости заряда и магнитной индукции. Впервые выражение для силы, действующей на заряд в магнитном поле (электрическая компонента была известна), получил в 1889 году Хевисайд за три года до Хендрика Лоренца, который вывел выражение для этой силы в 1892 году.

В более сложных ситуациях в классической и квантовой физике в случае, когда под действием электромагнитных полей свободные заряды перемещаются и изменяют значения полей, необходимо решение самосогласованной системы из уравнений Максвелла и уравнений движения, включающих силы Лоренца. Получение точного аналитического решения такой полной системы сопряжено обычно с большими сложностями. Важным примером такой системы уравнений для самосогласованного поля являются уравнения Власова — Максвелла, описывающие динамику плазмы.

Размерные константы в уравнениях Максвелла

В гауссовой системе единиц СГС все поля имеют одинаковую размерность, и в уравнениях Максвелла фигурирует единственная фундаментальная константа ${\displaystyle c}$, имеющая размерность скорости, которая сейчас называется скоростью света (именно равенство этой константы скорости распространения света дало Максвеллу основания для гипотезы об электромагнитной природе света).

В системе единиц СИ, чтобы связать электрическую индукцию и напряжённость электрического поля в вакууме, вводится электрическая постоянная ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ (${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} }$). Магнитная постоянная ${\displaystyle \mu _{0}}$ является таким же коэффициентом пропорциональности для магнитного поля в вакууме (${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} }$). Названия электрическая постоянная и магнитная постоянная сейчас стандартизованы. Ранее для этих величин также использовались, соответственно, названия электрическая (диэлектрическая) и магнитная проницаемости вакуума.

Скорость электромагнитного излучения в вакууме (скорость света) в СИ появляется при выводе волнового уравнения:

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.}$

В системе единиц СИ в качестве точной размерной константы определена скорость света в вакууме ${\displaystyle c}$, а магнитная постоянная ${\displaystyle \mu _{0}}$ после изменения 2018—2019 годов является экспериментально определяемой величиной. Через них выражается электрическая постоянная ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$.

Значенияскорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в таблице:

Символ	Наименование	Численное значение	Единицы измерения СИ
${\displaystyle c}$	Постоянная скорости света	${\displaystyle 299\;792\;458}$ (точно)	м/с
${\displaystyle \mu _{0}}$	Магнитная постоянная	${\displaystyle 1{,}256\;637\times 10^{-6}}$	Гн/м
${\displaystyle \varepsilon _{0}=1/(\mu _{0}c^{2})}$	Электрическая постоянная	${\displaystyle 8{,}854\;188\times 10^{-12}}$	Ф/м

Иногда вводится величина, называемая «волновым сопротивлением вакуума», или «импедансом» вакуума:

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=\mu _{0}c\approx 120\pi }$ Ом.

В системе СГС ${\displaystyle Z_{0}=1}$. Эта величина имеет смысл отношения амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в вакууме. Однако приписать этой величине физический смысл волнового сопротивления нельзя, поскольку в той же системе СГС её размерность не совпадает с размерностью сопротивления.

Уравнения Максвелла в среде

Чтобы получить полную систему уравнений электродинамики, к системе уравнений Максвелла необходимо добавить материальные уравнения, связывающие величины ${\displaystyle \mathbf {j} }$, ${\displaystyle \mathbf {H} }$, ${\displaystyle \mathbf {D} }$, ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$, в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагниченности и электропроводности среды, использующие идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами ${\displaystyle \mathbf {j} }$, ${\displaystyle \mathbf {H} }$, ${\displaystyle \mathbf {D} }$ с одной стороны и ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ с другой стороны.

Связанные заряды и токи

Слева: Совокупность микроскопических диполей в среде образует один макроскопический дипольный момент и эквивалентна двум заряженным с противоположным знаком пластинам на границе. При этом внутри среды все заряды скомпенсированы; Справа: Совокупность микроскопических циркулярных токов в среде эквивалентна макроскопическому току, циркулирующему вдоль границы. При этом внутри среды все токи скомпенсированы.

При приложении электрического поля к диэлектрическому материалу каждая из его молекул превращается в микроскопический диполь. При этом положительные ядра атомов немного смещаются в направлении поля, а электронные оболочки в противоположном направлении. Кроме этого, молекулы некоторых веществ изначально имеют дипольный момент. Дипольные молекулы стремятся ориентироваться в направлении поля. Этот эффект называется поляризацией диэлектриков. Такое смещение связанных зарядов молекул в объёме эквивалентно появлению некоторого распределения зарядов на поверхности, хотя все молекулы, вовлечённые в процесс поляризации, остаются нейтральными (см. рисунок).

Аналогичным образом происходит магнитная поляризация (намагничивание) в материалах, в которых составляющие их атомы и молекулы имеют магнитные моменты, связанные со спином и орбитальным моментом ядер и электронов. Угловые моменты атомов можно представить в виде циркулярных токов. На границе материала совокупность таких микроскопических токов эквивалентна макроскопическим токам, циркулирующим вдоль поверхности, несмотря на то, что движение зарядов в отдельных магнитных диполях происходит лишь в микромасштабе (связанные токи).

Рассмотренные модели показывают, что хотя внешнее электромагнитное поле действует на отдельные атомы и молекулы, его поведение во многих случаях можно рассматривать упрощённым образом в макроскопическом масштабе, игнорируя детали микроскопической картины.

В среде сторонние электрические и магнитные поля вызывают поляризацию и намагничивание вещества, которые макроскопически описываются соответственно вектором поляризованности ${\displaystyle \mathbf {P} }$ и вектором намагниченности ${\displaystyle \mathbf {M} }$ вещества, и вызваны появлением связанных зарядов ${\displaystyle \rho _{b}\ }$ и токов ${\displaystyle \mathbf {j} _{b}}$. В результате поле в среде оказывается суммой внешних полей и полей, вызванных связанными зарядами и токами.

СГС	СИ
${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{b}=c\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{b}=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$

Поляризованность ${\displaystyle \mathbf {P} }$ и намагниченность вещества ${\displaystyle \mathbf {M} }$ связаны с векторами напряжённости и индукции электрического и магнитного поля следующими соотношениями:

СГС	СИ
${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M} }$	${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$

Поэтому, выражая векторы ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ${\displaystyle \mathbf {H} }$ через ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$, ${\displaystyle \rho _{b}\ }$ и ${\displaystyle \mathbf {j} _{b}}$, можно получить математически эквивалентную систему уравнений Максвелла:

СГС	СИ
${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi [\rho _{f}+\rho _{b}]}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[\rho _{f}+\rho _{b}]}$
${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

Индексом ${\displaystyle f\ }$ здесь обозначены свободные заряды и токи. Уравнения Максвелла в такой форме являются фундаментальными в том смысле, что они не зависят от модели электромагнитного устройства вещества. Разделение зарядов и токов на свободные и связанные позволяет «спрятать» в ${\displaystyle \rho _{b}\ }$, ${\displaystyle \mathbf {j} _{b}}$, а затем в ${\displaystyle \mathbf {P} ,\mathbf {M} }$ и, следовательно, в ${\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {H} }$ сложный микроскопический характер электромагнитного поля в среде.

Материальные уравнения

Материальные уравнения устанавливают связь между ${\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {H} }$ и ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }$. При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин.

• В слабых электромагнитных полях, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, в случае изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред справедливо приближение, в котором поляризованность и намагниченность линейно зависят от приложенных полей:

СГС	СИ
${\displaystyle \mathbf {P} =\chi _{e}\mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} }$	${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}$

где введены безразмерные константы: ${\displaystyle \chi _{e}\ }$ — диэлектрическая восприимчивость и ${\displaystyle \chi _{m}\ }$ — магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в ${\displaystyle 4\pi \ }$ раз больше, чем в гауссовой системе СГС). Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде:

СГС	СИ
${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =(1+4\pi \chi _{e})\mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} =(1+4\pi \chi _{m})\mathbf {H} }$	${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\varepsilon \mathbf {E} =\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})\mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\mu \mathbf {H} =\mu _{0}(1+\chi _{m})\mathbf {H} ,}$

где ${\displaystyle \varepsilon \ }$ — относительная диэлектрическая проницаемость, ${\displaystyle \mu \ }$ — относительная магнитная проницаемость. Размерные величины ${\displaystyle \varepsilon _{0}\varepsilon }$ (в единицах СИ — Ф/м) и ${\displaystyle \mu _{0}\mu }$ (в единицах СИ — Гн/м), возникающие в системе СИ, называются абсолютная диэлектрическая проницаемость и абсолютная магнитная проницаемость соответственно.

• В проводниках существует связь между плотностью тока и напряжённостью электрического поля, в хорошем приближении выражаемая законом Ома:

${\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} ,}$

где ${\displaystyle \sigma }$ — удельная проводимость среды (в единицах СИ — Ом⁻¹•м⁻¹).

• В анизотропной среде ${\displaystyle \varepsilon }$, ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \sigma }$ являются тензорами ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$, ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ и ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$. В системе координат главных осей они могут быть описаны диагональными матрицами. В этом случае связь между напряжённостями полей и индукциями имеют различные коэффициенты по каждой координате. Например, в системе СИ:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}D_{x}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{xx}\,E_{x},~~~~~&D_{y}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{yy}\,E_{y},~~~~~&D_{z}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{zz}\,E_{z},\\[3mm]B_{x}=\mu _{0}\mu _{xx}\,H_{x},~~~~~&B_{y}=\mu _{0}\mu _{yy}\,H_{y},~~~~~&B_{z}=\mu _{0}\mu _{zz}\,H_{z}.\end{array}}}$

• Хотя для широкого класса веществ линейное приближение для слабых полей выполняется с хорошей точностью, в общем случае зависимость между ${\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {H} }$ и ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }$ может быть нелинейной. В этом случае проницаемости среды не являются константами, а зависят от величины поля в данной точке. Кроме того, более сложная связь между ${\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {H} }$ и ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }$ наблюдается в средах с пространственной или временной дисперсиями. В случае пространственной дисперсии токи и заряды в данной точке пространства зависят от величины поля не только в той же точке, но и в соседних точках. В случае временной дисперсии поляризованность и намагниченность среды не определяются только величиной поля в данный момент времени, а зависят также от величины полей в предшествующие моменты времени. В самом общем случае нелинейных и неоднородных сред с дисперсией материальные уравнения в системе СИ принимают интегральный вид:

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t-t',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} ';}$ ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)=\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t-t',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {H} (\mathbf {r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} '.}$

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить ${\displaystyle \varepsilon _{0}=1}$).

Уравнения в изотропных и однородных средах без дисперсии

В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид:

СГС	СИ
${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\mu \mu _{0}}\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

В оптическом диапазоне частот вместо диэлектрической проницаемости ${\displaystyle \varepsilon }$ используется показатель преломления ${\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon \mu }}}$, показывающий отличие скорости распространения монохроматической световой волны в среде от скорости света в вакууме. При этом в оптическом диапазоне диэлектрическая проницаемость обычно заметно меньше, чем на низких частотах, а магнитная проницаемость большинства оптических сред практически равна единице. Показатель преломления большинства прозрачных материалов составляет от 1 до 2, достигая 5 у некоторых полупроводников. В вакууме и диэлектрическая, и магнитная проницаемости равны единице: ${\displaystyle \varepsilon =\mu =1}$.

Поскольку уравнения Максвелла в линейной среде являются линейными относительно полей ${\displaystyle (\mathbf {E} ,\mathbf {B} )}$ и свободных зарядов и токов ${\displaystyle (\rho ,\mathbf {j} )}$, справедлив принцип суперпозиции:

Если распределения зарядов и токов ${\displaystyle (\rho _{1},\mathbf {j} _{1})}$ создают электромагнитное поле с компонентами ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\mathbf {B} _{1})}$, а другие распределения ${\displaystyle (\rho _{2},\mathbf {j} _{2})}$ создают, соответственно, поле ${\displaystyle (\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{2})}$, то суммарное поле, создаваемое источниками ${\displaystyle (\rho _{1}+\rho _{2},\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2})}$, будет равно ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2})}$.

При распространении электромагнитных полей в линейной среде в отсутствие зарядов и токов сумма любых частных решений уравнений будет также удовлетворять уравнениям Максвелла.

Граничные условия

Во многих случаях неоднородную среду можно представить в виде совокупности кусочно-непрерывных однородных областей, разделённых бесконечно тонкими границами. При этом можно решать уравнения Максвелла в каждой области, «сшивая» на границах получающиеся решения. В частности, при рассмотрении решения в конечном объёме необходимо учитывать условия на границах объёма с окружающим бесконечным пространством. Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Выбирая во второй паре уравнений контур интегрирования в виде прямоугольной рамки бесконечно малой высоты, пересекающей границу раздела двух сред, можно получить следующую связь между компонентами поля в двух областях, примыкающих к границе:

СГС	СИ
${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0} }$, ${\displaystyle (\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{s}}$,	${\displaystyle (\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0} }$, ${\displaystyle (\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}}$,

где ${\displaystyle \mathbf {n} _{1-2}}$ — единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2 и имеющий размерность, обратную длине, ${\displaystyle \mathbf {j} _{s}}$ — плотность поверхностных свободных токов вдоль границы (то есть не включая связанных токов намагничивания, складывающихся на границе среды из микроскопических молекулярных и т.п. токов). Первое граничное условие можно интерпретировать как непрерывность на границе областей тангенциальных компонент напряжённостей электрического поля (из второго следует, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля непрерывны только при отсутствии поверхностных токов на границе).

Аналогичным образом, выбирая область интегрирования в первой паре интегральных уравнений в виде цилиндра бесконечно малой высоты, пересекающего границу раздела так, что его образующие перпендикулярны границе раздела, можно получить:

СГС	СИ
${\displaystyle (\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}}$, ${\displaystyle (\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0}$,	${\displaystyle (\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}}$, ${\displaystyle (\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0}$,

где ${\displaystyle \rho _{s}\ }$ — поверхностная плотность свободных зарядов (то есть не включающая в себя связанных зарядов, возникающих на границе среды вследствие диэлектрической поляризации самой среды).

Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).

Из уравнения непрерывности можно получить граничное условие для токов:

${\displaystyle (\mathbf {j} _{1}-\mathbf {j} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}={\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{s}}$,

Важным частным случаем является граница раздела диэлектрика и идеального проводника. Поскольку идеальный проводник имеет бесконечную проводимость, электрическое поле внутри него равно нулю (иначе оно порождало бы бесконечную плотность тока). Тогда в общем случае переменных полей из уравнений Максвелла следует, что и магнитное поле в проводнике равно нулю. В результате тангенциальная компонента электрического и нормальная магнитного поля на границе с идеальным проводником равны нулю:

СГС	СИ
${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0} }$, ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{s}}$, ${\displaystyle \mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}}$, ${\displaystyle \mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0}$,	${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0} }$, ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}}$, ${\displaystyle \mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}}$, ${\displaystyle \mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0}$,

Законы сохранения

Уравнения Максвелла содержат в себе законы сохранения заряда и энергии электромагнитного поля.

Уравнение непрерывности

Источники полей (${\displaystyle \rho ,~\mathbf {j} }$) не могут быть заданы произвольным образом. Применяя операцию дивергенции к четвёртому уравнению (закон Ампера—Максвелла) и используя первое уравнение (закон Гаусса), можно получить уравнение непрерывности для зарядов и токов:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.}$

Вывод уравнения непрерывности

Дивергенция от ротора равна нулю, поэтому для четвёртого уравнения Максвелла (Закон Ампера—Максвелла) в системе СИ имеем:

${\displaystyle 0=\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \nabla \cdot \mathbf {D} }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}},}$

где в последнем равенстве подставлено первое уравнение (Закон Гаусса).

Это уравнение при помощи интегральной теоремы Остроградского—Гаусса можно записать в следующем виде:

${\displaystyle \oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{v}\rho \,dv.}$

В левой части уравнения находится полный ток, протекающий через замкнутую поверхность ${\displaystyle s\ }$. В правой части — изменение со временем заряда, находящегося внутри объёма ${\displaystyle v\ }$. Таким образом, изменение заряда внутри объёма возможно только при его притоке или оттоке через поверхность ${\displaystyle s\ }$, ограничивающую объём.

Уравнение непрерывности, эквивалентное закону сохранения заряда, далеко выходит за пределы классической электродинамики, оставаясь справедливым и в квантовой теории. Поэтому это уравнение само по себе может быть положено в основу электромагнитной теории. Тогда, например, ток смещения (производная по времени электрического поля) должен обязательно присутствовать в законе Ампера.

Из уравнений Максвелла для роторов и уравнения непрерывности с точностью до произвольных функций, не зависящих от времени, следуют законы Гаусса для электрического и магнитного полей.

Закон сохранения энергии

Если умножить третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме (закон Фарадея) скалярно на ${\displaystyle \mathbf {H} }$, а четвёртое (закон Ампера — Максвелла) на ${\displaystyle -\mathbf {E} }$ и сложить результаты, можно получить теорему Пойнтинга:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(w_{E}+w_{H}\right)=-\mathbf {E} \mathbf {j} ,}$

где

СГС	СИ
${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$ ${\displaystyle w_{E}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }$ ${\displaystyle w_{H}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} }$	${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$ ${\displaystyle w_{E}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }$ ${\displaystyle w_{H}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} }$

Вывод теоремы Пойнтинга

При помощи третьего и четвёртого уравнения Максвелла в дифференциальной форме в системе СИ можно получить:

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\mathbf {E} \mathbf {j} +\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}},~~~~~~~~~~~~~\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]=-\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Разница левых частей уравнений сворачивается по следующей формуле векторного анализа (производная произведения):

${\displaystyle \nabla \cdot [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]=\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]-\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ].}$

В линейных, но, возможно, неизотропных средах между напряжённостями и индукциями существует линейная связь. Например, для электрического поля ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,{\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} }$. Если ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$ — симметричная матрица, не зависящая от времени, то:

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\,{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}.}$

Аналогично для магнитного поля.

Вектор ${\displaystyle \mathbf {S} }$ называется вектором Пойнтинга (вектором плотности потока электромагнитной энергии) и определяет количество электромагнитной энергии, переносимой через единицу площади в единицу времени. Интеграл вектора Пойнтинга по сечению распространяющейся волны определяет её мощность. Как впервые указал Хевисайд, физический смысл потока энергии имеет только безвихревая часть вектора Пойнтинга. Вихревая часть, дивергенция которой равна нулю, не связана с переносом энергии. Хевисайд получил выражение для закона сохранения независимо от Пойнтинга. В русскоязычной литературе вектор Пойнтинга часто называется также «вектором Умова — Пойнтинга».

Величины ${\displaystyle w_{E}\ }$ и ${\displaystyle w_{H}\ }$ определяют объёмные плотности энергии, соответственно, электрического и магнитного полей. При отсутствии токов и связанных с ними потерь теорема Пойнтинга является уравнением непрерывности для энергии электромагнитного поля. Проинтегрировав его в этом случае по некоторому замкнутому объёму и воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, можно получить закон сохранения энергии для электромагнитного поля:

${\displaystyle \oint \limits _{s}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {s} +{\frac {d}{dt}}\int \limits _{v}(w_{E}+w_{H})\,dv=0.}$

Это уравнение показывает, что при отсутствии внутренних потерь изменение энергии электромагнитного поля в объёме происходит только за счёт мощности электромагнитного излучения, переносимого через границу этого объёма.

Вектор Пойнтинга связан с импульсом электромагнитного поля:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} \,dv,}$

где интегрирование производится по всему пространству. Электромагнитная волна, поглощаясь или отражаясь от некоторой поверхности, передаёт ей часть своего импульса, что проявляется в форме светового давления. Экспериментально этот эффект впервые наблюдался П. Н. Лебедевым в 1899 году.

Потенциалы

Скалярный и векторный потенциалы

Закон Фарадея и закон Гаусса для магнитной индукции выполняются тождественно, если электрическое и магнитное поля выразить через скалярный ${\displaystyle \varphi }$ и векторный ${\displaystyle \mathbf {A} }$ потенциалы:

СГС	СИ
${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$	${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Доказательство

Поскольку согласно закону Гаусса дивергенция индукции магнитного поля ${\displaystyle \mathbf {B} }$ равна нулю, то по теореме Гельмгольца существует такое векторное поле ${\displaystyle \mathbf {A} }$, что ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$ Тогда ротор вектора ${\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ (в системе СГС) или вектора ${\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ (в системе СИ) удовлетворяет условию ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} '=0.}$ Например, в системе СИ получаем:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E'} =\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=\nabla \times \mathbf {E} +\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0.}$

Из условия же равенства нулю ротора согласно теореме Гельмгольца следует, что существует такая скалярная функция ${\displaystyle \varphi ,}$ что ${\displaystyle \mathbf {E} '=-\nabla \varphi .}$

Обратная подстановка работает аналогично. Если электрическое и магнитное поля выражены через скалярный ${\displaystyle \varphi }$ и векторный ${\displaystyle \mathbf {A} }$ потенциалы согласно приведённым выше формулам, то дивергенция индукции магнитного поля автоматически равна нулю:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {A} ]=[\nabla \times \nabla ]\cdot \mathbf {A} =0.}$

Для напряжённости же электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$ будет автоматически выполнен закон Фарадея. Например, в системе СИ получаем:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

При данных электрическом ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и магнитном ${\displaystyle \mathbf {B} }$ полях скалярный и векторный потенциалы определены неоднозначно. Если ${\displaystyle \psi \ }$ — произвольная функция координат и времени, то следующее преобразование не изменит значение полей:

СГС	СИ
${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi }$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$	${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi }$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$

Подобные преобразования играют важную роль в квантовой электродинамике и лежат в основе локальной калибровочной симметрии электромагнитного взаимодействия. Локальная калибровочная симметрия вводит зависимость от координат и времени в фазу глобальной калибровочной симметрии, которая, в силу теоремы Нётер, приводит к закону сохранения заряда.

Неоднозначность определения потенциалов оказывается удобной для наложения на них дополнительных условий, называемых калибровкой. Благодаря этому уравнения электродинамики принимают более простой вид. Рассмотрим, например, уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах с диэлектрической (${\displaystyle \varepsilon }$) и магнитной (${\displaystyle \mu \ }$) проницаемостями. Для данных ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \mathbf {A} }$ всегда можно подобрать такую функцию ${\displaystyle f}$, чтобы выполнялось калибровочное условие Лоренца:

СГС	СИ
${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$	$$