Параллельный перенос

Паралле́льный перено́с, иногда трансляция (от лат. translatio — перенос, перемещение) ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Определение

Параллельный перенос ― перемещение всех точек пространства в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Если ${\displaystyle M}$ ― первоначальное положение, а ${\displaystyle M'}$ ― смещённое в результате переноса положение точки, то вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}}$ ― один и тот же для всех пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.

Параллельный перенос на вектор ${\displaystyle {\vec {a}}}$ обозначается как ${\displaystyle T_{\vec {a}}}$ (от лат. translatio - перенос, перемещение)

Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или пространства на одно и то же расстояние в одном и том же направлении.

Координатное представление

На плоскости параллельный перенос выражается аналитически в прямоугольной системе координат ${\displaystyle (x,\;y)}$ при помощи

${\textstyle (x,\;y)\mapsto (x+a,\;y+b),}$

где вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}=(a,\;b)}$.

Свойства

• Две различные точки и их образы, полученные параллельным переносом, являются вершинами параллелограмма, в котором отрезок, соединяющий две начальные точки, образует одну сторону, а отрезок, соединяющий два их образа — противоположную ей сторону.
• У параллельного переноса нет неподвижных точек (если только это не тождественное преобразование, либо если прямая или плоскость не параллельны вектору параллельного переноса (т.к. именно он определяет направление переноса)).
• Совокупность всех параллельных переносов образует группу, которая в евклидовом пространстве является нормальной подгруппой группы движений, а в аффинном ― нормальной подгруппой группы аффинных преобразований.
• Параллельный перенос сохраняет направления ( т.е. для любого вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ верно, что ${\displaystyle f({\vec {a}})={\vec {a}}}$)
• Преобразование, обратное к параллельному переносу ${\displaystyle T_{\vec {a}}}$ есть ${\displaystyle T_{-{\vec {a}}}}$
• Композиция параллельных переносов ${\displaystyle T_{\vec {a}}}$ и ${\displaystyle T_{\vec {b}}}$ есть ${\displaystyle T_{{\vec {a}}+{\vec {b}}}}$
• Параллельный перенос переводит прямую в себя или в параллельную ей прямую, а плоскость - в себя или в параллельную ей плоскость.
• Параллельный перенос ${\displaystyle T_{\vec {0}}}$ - это тождественное преобразование.

Вариации и обобщения

• Параллельное перенесение — обобщение понятия «параллельный перенос» на случай искривлённых пространств.
• Поступательное движение — движение в механике, разница положений при котором в любые 2 момента времени представляет собой параллельный перенос.
• Трансляция (кристаллография)
• Трансляционная симметрия

Примечания

1. Паралле́льный перено́с и трансляция ― полные синонимы в математике и физике, вторая форма термина особенно часто употребляется для образования прилагательного, например трансляционная симметрия), также, традиционно, ей отдается почти исключительное предпочтение в некоторых областях, таких, как кристаллография.
2. Калинин А.Ю., Терешин Д.А. Геометрия. 10-11 классы (профильный уровень). — МЦНМО, 2011. — С. 231-250. — ISBN 978-5-94057-581-8.