Евклидово пространство

Эта статья — о пространстве ℝⁿ со скалярным произведением. О любом пространстве со скалярным произведением см. Предгильбертово пространство.

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство) в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$; также часто используется обозначение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной вещественной евклидовой структурой.

Формальное определение

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ),}$ обладающая следующими тремя свойствами:

• Линейность: для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {u,v,w} }$ и для любых вещественных чисел ${\displaystyle a,b}$ справедливы соотношения ${\displaystyle (a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)} }$;
• Симметричность: для любых векторов ${\displaystyle u,v}$ верно равенство ${\displaystyle \mathbf {(u,v)=(v,u)} ;}$
• Положительная определённость: ${\displaystyle \mathbf {(u,u)} \geqslant 0}$ для любого ${\displaystyle u,}$ причём ${\displaystyle \mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.}$

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством.

Пример евклидова пространства — координатное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$ где скалярное произведение определяется формулой ${\displaystyle \mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора ${\displaystyle u}$ определяется как ${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}}$ и обозначается ${\displaystyle |\mathbf {u} |.}$ Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что ${\displaystyle |a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,}$ то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ определяется как ${\displaystyle \arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .}$ Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},}$ то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от ${\displaystyle \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} }$ был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ${\displaystyle \left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.}$ Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: ${\displaystyle \mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .}$ Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция ${\displaystyle d\mathbf {(x,y)} ,}$ или ${\displaystyle \mathbf {|x-y|} ,}$ задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ координатного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ задаётся формулой ${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ и ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле ${\displaystyle (a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.}$ В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство изоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства.

Ортогональная проекция вектора ${\displaystyle x}$ на подпространство ${\displaystyle U}$ — это вектор ${\displaystyle u\in U}$ такой, что ${\displaystyle x}$ представим в виде ${\displaystyle u+h}$, где вектор ${\displaystyle h\notin U}$ ортогонален ${\displaystyle U}$.

Расстояние между концами векторов ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle x}$ является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора ${\displaystyle x}$ до подпространства ${\displaystyle U.}$

Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор ${\displaystyle x}$ евклидова пространства задаёт линейный функционал ${\displaystyle x^{*}}$ на этом пространстве, определяемый как ${\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).}$ Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$, переводящий точку ${\displaystyle \mathbf {p} }$ в точку ${\displaystyle \mathbf {p+v} }$. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию ${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=E}$, где ${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}}$ — транспонированная матрица, а ${\displaystyle E}$ — единичная матрица.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• ${\displaystyle \mathbb {E^{1}} }$ размерности ${\displaystyle 1}$ (вещественная прямая — к примеру, числовая ось);
• ${\displaystyle \mathbb {E^{2}} }$ размерности ${\displaystyle 2}$ (евклидова плоскость);
• ${\displaystyle \mathbb {E^{3}} }$ размерности ${\displaystyle 3}$ (евклидово трёхмерное пространство).

Более абстрактный пример:

• пространство ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{n}}$ вещественных многочленов, степени которых не превосходят n, со скалярным произведением, определённым как интеграл их произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

• правильные многомерные многогранники (например, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр);
• гиперсфера;
• гипертор.

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

Примечания

1. Гельфанд, 1998, с. 35.
2. Гельфанд, 1998, с. 39.
3. Кострикин, Манин, 1986, с. 118.
4. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 182
5. Данный результат верен также для псевдоевклидовых и унитарных пространств, для гильбертовых пространств он более сложен и называется теоремой Рисса.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.