Сферические координаты

Сфери́ческая систе́ма координа́т — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$, где ${\displaystyle r}$ — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$ — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис. 1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы ${\displaystyle Oxyz}$, фундаментальной плоскостью будет плоскость ${\displaystyle xy}$, зенитным углом точки, заданной радиус-вектором ${\displaystyle P}$, будет угол между ${\displaystyle P}$ и осью ${\displaystyle z}$, а азимутом — угол между проекцией ${\displaystyle P}$ на плоскость ${\displaystyle xy}$ и осью ${\displaystyle x}$. Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

Определения

Положение точки ${\displaystyle P}$ в сферической системе координат определяется тройкой ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$, где

• ${\displaystyle r\geqslant 0}$ — расстояние от начала координат до заданной точки ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}$ — угол между осью ${\displaystyle z}$ и отрезком, соединяющим начало координат и точку ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }}$ — угол между осью ${\displaystyle x}$ и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой ${\displaystyle P}$, на плоскость ${\displaystyle xy}$ (см. рис. 1).

Угол ${\displaystyle \theta }$ называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, или коширотой, а угол ${\displaystyle \varphi }$ — азимутальным. Углы ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$ не определены при ${\displaystyle r=0}$, также не определён угол ${\displaystyle \varphi }$ при ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ (то есть при ${\displaystyle \theta =0}$ или ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла ${\displaystyle \theta }$, используется угол между радиус-вектором точки ${\displaystyle P}$ и плоскостью ${\displaystyle xy}$, равный ${\displaystyle 90^{\circ }-\theta }$. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой ${\displaystyle \theta }$. Широта может изменяться в пределах ${\displaystyle -90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }}$. При этом соглашении углы ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$ не имеют значения при ${\displaystyle r=0}$, так же как и в первом случае, а ${\displaystyle \varphi }$ не имеет значения при ${\displaystyle \cos(\theta )=0}$ (то есть при ${\displaystyle \theta =-90^{\circ }}$ или ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$).

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

Обратно, от декартовых к сферическим:

${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}}$

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}}$

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

Обратно от цилиндрических к сферическим:

${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z}},\\\varphi =\varphi .\end{cases}}}$

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим ${\displaystyle J=r}$.

Дифференциальные характеристики

Вектор ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} }$, проведённый из точки ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ в точку ${\displaystyle (r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )}$, равен

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,}$

где

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения ${\displaystyle r,\theta ,\varphi }$, соответственно, а ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}$ — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle \det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\ }$
• Квадрат дифференциала длины дуги:

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.}$

• Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .}$

• Символы Кристоффеля ${\displaystyle \{r,\;\theta ,\;\varphi \}}$:

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,}$

${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},}$

${\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .}$

Остальные равны нулю.

Математическое моделирование Земли

Сферическая географическая система координат

Сферическая географическая система координат строится следующим образом:

• её начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси вращения Земли;
• координата ${\displaystyle r}$ отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол ${\displaystyle \theta }$ есть коширота (дополнение географической широты до ${\displaystyle 90^{\circ }}$);
• азимутальный угол ${\displaystyle \varphi }$ совпадает с географической долготой (восточной).

Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли ${\displaystyle \mathbf {B} }$ имеет компоненты

${\displaystyle B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,}$

где ${\displaystyle I}$ — магнитное наклонение; ${\displaystyle D}$ — магнитное склонение.

Компоненты вектора ускорения свободного падения ${\displaystyle \mathbf {g} }$ равны

${\displaystyle g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.}$

Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ такие:

${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.}$

В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства.

Сферическая геомагнитная система координат

Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом:

• её начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса;
• координата ${\displaystyle r}$ отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол ${\displaystyle \Theta }$ есть геомагнитная коширота (дополнение магнитной широты ${\displaystyle \Phi }$ до ${\displaystyle 90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi }$);
• азимутальный угол ${\displaystyle \Lambda }$ совпадает с геомагнитной долготой, отсчитываемой к востоку от плоскости в западном полушарии, содержащей географический и геомагнитный полюсы.

Географические координаты северного магнитного полюса равны

${\displaystyle \theta _{0}=4,6^{\circ },\;\varphi _{0}=43,0^{\circ }\;(2012).}$

В сферической геомагнитной системе координат склонение ${\displaystyle D=0}$ и

${\displaystyle B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,}$

${\displaystyle g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.}$

${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ),}$

${\displaystyle \Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda ),}$

${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .}$

Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты:

${\displaystyle \cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),}$

${\displaystyle \cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0})}{\sin \Theta }},}$

${\displaystyle \cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,}$

${\displaystyle \cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta }}.}$

В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах, описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства.

См. также

• Углы Эйлера
• Гиперсферические координаты

Примечания

1. Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 172—173. ISBN 5-02-000716-1

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.