Правила дифференцирования

Вычисление производной — операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а ${\displaystyle c}$ — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Производные простых функций

• ${\displaystyle {d \over dx}c=0}$

• ${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

• ${\displaystyle {d \over dx}cx=c}$

Вывод

${\displaystyle (cx)'=cx'=c}$

• ${\displaystyle {d \over dx}x^{c}=cx^{c-1},}$        когда ${\displaystyle x^{c}}$ и ${\displaystyle cx^{c-1}}$ определены, ${\displaystyle c\neq 0}$

Вывод

${\displaystyle (x+h)^{c}=x^{c}+(x^{c})'h+o(h)}$

${\displaystyle (x+h)^{c}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)}$

${\displaystyle x^{c}+cx^{c-1}h+\sum _{k=2}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)}$

${\displaystyle cx^{c-1}h+\sum _{k=2}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}=(x^{c})'h+o(h)}$

${\displaystyle cx^{c-1}h+o(h)=(x^{c})'h+o(h)}$

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}(cx^{c-1}+{\frac {o(h)}{h}})=\lim _{h\rightarrow 0}((x^{c})'+{\frac {o(h)}{h}})}$

${\displaystyle cx^{c-1}=(x^{c})'}$

• ${\displaystyle {d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0}$

Вывод

Так как ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$, то пусть ${\displaystyle g(x)=x^{2},\quad h(x)={\sqrt {x}}}$ и ${\displaystyle f(x)=h(g(x))={\sqrt {x^{2}}}=|x|}$

Тогда ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}}}}}\cdot 2x={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}={\frac {x}{|x|}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}$

• ${\displaystyle {d \over dx}{\sqrt[{n}]{x}}={d \over dx}x^{1 \over n}={1 \over n}x^{1-n \over n}={\frac {1}{n\cdot {\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}}$

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

• ${\displaystyle {d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0}$

Вывод

${\displaystyle {d \over dx}c^{x}={d \over dx}e^{x\ln c}=e^{x\ln c}\ln c=c^{x}\ln c}$

• ${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}}$
• ${\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={\frac {\log _{a}e}{x}}={\frac {1}{x\ln a}}}$

Вывод

${\displaystyle log_{a}(x+h)=log_{a}x+(log_{a}x)'h+o(h)}$

${\displaystyle log_{a}(x+h)-log_{a}x=(log_{a}x)'h+o(h)}$

${\displaystyle log_{a}(1+{\frac {h}{x}})=(log_{a}x)'h+o(h)}$

${\displaystyle log_{a}e{\frac {h}{x}}=(log_{a}x)'h+o(h)}$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}f(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln f(x)}{\ln(a)}}={\frac {f'(x)}{f(x)\ln(a)}}.}$

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

• ${\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}$

Вывод

${\displaystyle \sin(x+h)=\sin x+(\sin x)'h+o(h)}$

${\displaystyle \sin(x+h)-\sin x=(\sin x)'h+o(h)}$

${\displaystyle 2\sin {\frac {h}{2}}\cos {\frac {2x+h}{2}}=(\sin x)'h+o(h)}$

${\displaystyle 2({\frac {h}{2}}+o(h))(\cos x+o(1))=(\sin x)'h+o(h)}$

${\displaystyle (\cos x)h+o(h)=(\sin x)'h+o(h)}$

${\displaystyle \cos x=\sin 'x}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\cos x=-\sin x}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {tg} \,x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} ^{2}x+1}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {ctg} \,x=-\,\operatorname {cosec} ^{2}\,x=-{1 \over \sin ^{2}x}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\sec x=\,\operatorname {tg} \,x\sec x}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {cosec} \,x=-\,\operatorname {ctg} \,x\,\operatorname {cosec} \,x}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\arccos x=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arctg} \,x={1 \over 1+x^{2}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcctg} \,x=-{1 \over 1+x^{2}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

• ${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arccosec} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Производные гиперболических функций

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {sh} \,x=\,\operatorname {ch} \,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {ch} \,x=\,\operatorname {sh} \,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {th} \,x=\,\operatorname {sech} ^{2}\,x=1-\operatorname {th} ^{2}\,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\operatorname {th} x\,\operatorname {sech} \,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {cth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {cth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arsh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arch} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arth} \,x={1 \over 1-x^{2}}}$, при ${\displaystyle |x|<1}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arsech} \,x=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcth} \,x={1 \over 1-x^{2}}}$, при ${\displaystyle |x|>1}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Правила дифференцирования общих функций

${\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}$

${\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}$

${\displaystyle \left({f-g}\right)'=f'-g'}$

${\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}$ (частный случай формулы Лейбница)

${\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}$

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0}$

${\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)}$ — Правило дифференцирования сложной функции

${\displaystyle f'=(\ln f)'f,\qquad f>0}$

${\displaystyle (f^{c})'=c\left(f^{c-1}\right)f'}$

См. также

• Таблица первообразных