Квадратное уравнение

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,}$

в котором ${\displaystyle x}$ — неизвестное, а коэффициенты ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — вещественные или комплексные числа.

Выражение ax² + bx + c называется квадратным трёхчленом. Корень уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ — это значение неизвестного ${\displaystyle x}$, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:

• ${\displaystyle a}$ называют первым или старшим коэффициентом,
• ${\displaystyle b}$ называют вторым, средним коэффициентом или коэффициентом при ${\displaystyle x}$,
• ${\displaystyle c}$ называют свободным коэффициентом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\dfrac {b}{a}},\quad q={\dfrac {c}{a}}.}$

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах, то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

${\displaystyle x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.}$

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанном индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.); Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ${\displaystyle ax^{2}+bx=c;}$ притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме ${\displaystyle a,}$ могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ называется величина ${\displaystyle {\mathcal {D}}=b^{2}-4ac}$.

Условие	${\displaystyle {\mathcal {D}}>0}$	${\displaystyle {\mathcal {D}}=0}$	${\displaystyle {\mathcal {D}}<0}$
Количество корней	Два корня	Один корень кратности 2 (другими словами, два равных корня)	Действительных корней нет
Формула	${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}}$       (1)	${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$	—

Выведение формулы

• Формулу (1) можно получить следующим образом:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

${\displaystyle ax^{2}+bx=-c}$

Умножаем каждую часть на ${\displaystyle 4a}$ и прибавляем ${\displaystyle b^{2}}$:

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}$

${\displaystyle (2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}}$

${\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}}$

${\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}}$

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}.}$

• Формула для случая ${\displaystyle {\mathcal {D}}=0}$ является частным случаем формулы (1):

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {0}}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}.}$

• Для случая ${\displaystyle {\mathcal {D}}<0}$ отсутствие вещественных корней также следует из формулы (1), поскольку квадратный корень из отрицательного числа не принадлежит множеству вещественных чисел.

Следствия:

• трёхчлен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ есть полный квадрат суммы или разности в том и только в том случае, если ${\displaystyle {\mathcal {D}}=0}$;
• Дискриминант можно найти по формуле: ${\displaystyle {\mathcal {D}}=a^{2}\left(x_{+}-x_{-}\right)^{2}}$;
• ${\displaystyle x_{\pm }={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {\mathcal {D}}}}}}$.

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ${\displaystyle ax^{2}+2kx+c=0}$, то есть при чётном ${\displaystyle b}$, где

${\displaystyle k={\dfrac {1}{2}}b,}$

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений.

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2k, через несложные преобразования.

Дискриминант		Корни
неприведённое	приведённое	D > 0	неприведённое	приведённое
удобнее вычислять значение четверти дискриминанта: ${\displaystyle {\dfrac {\mathcal {D}}{4}}=k^{2}-ac}$ Все необходимые свойства при этом сохраняются.	${\displaystyle {\dfrac {\mathcal {D}}{4}}=k^{2}-c}$.		${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.}$	${\displaystyle x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c}}}$
		D = 0	${\displaystyle x={\dfrac {-k}{a}}}$	${\displaystyle x=-k}$

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

b = 0, c = 0	b=0; c≠0	b≠0; c=0
${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ax^{2}&=0,\\x^{2}&=0,\\x&=0.\end{alignedat}}}$ (процесс преобразования специально показан подробно, на практике можно сразу переходить к последнему равенству)	${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+c&=0,\\ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\dfrac {c}{a}},\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {-{\dfrac {c}{a}}}}.\end{aligned}}}$Если ${\displaystyle -{\dfrac {c}{a}}>0}$, то уравнение имеет два действительных корня (разных по знаку), a если ${\displaystyle -{\dfrac {c}{a}}<0}$, то уравнение не имеет действительных корней.	${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx&=0,\\x(ax+b)&=0,\end{aligned}}}$ ${\displaystyle x=0}$ или ${\displaystyle ax+b=0,}$${\displaystyle x_{1}=0,\quad x_{2}=-{\dfrac {b}{a}}.}$ Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня, причём один из них всегда равен нулю.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: ${\displaystyle a+c=b}$, то его корнями являются ${\displaystyle -1}$ и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (${\displaystyle -{\frac {c}{a}}}$).

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

${\displaystyle {\mathcal {D}}=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}}$.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов ${\displaystyle (a-c)^{2}\geqslant 0}$, а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если ${\displaystyle a\not =c}$, то уравнение имеет два корня, если же ${\displaystyle a=c}$, то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {-a-c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {-a-c\pm a\mp c}{2a}}}$.

${\displaystyle x_{1}={\frac {-a-c-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-a-c+a-c}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.}$

В частности, если ${\displaystyle a=c}$, то корень будет один: ${\displaystyle -1.}$

Способ 2 [геометрический].

Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$. Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}}$ (если ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$) или ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}}$ (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество ${\displaystyle \rho (a;b)=|a-b|}$, выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что ${\displaystyle x_{1}=-1}$ (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: ${\displaystyle a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0}$, поэтому -1 - корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.}$ Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем - отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве ${\displaystyle b-a=c}$, раскрываем модуль: ${\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {b-a}{a}}=-{\frac {c}{a}}}$. Во втором случае, совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч. т. д.

Способ 3 [разложение на множители].

Совершим подстановку условия ${\displaystyle a+c=b}$ в уравнение ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$. Тогда ${\displaystyle ax^{2}+(a+c)x+c=0\Longleftrightarrow ax(x+1)+c(x+1)=0\Longleftrightarrow (x+1)(ax+c)=0.}$ Откуда ${\displaystyle x=-1}$ либо ${\displaystyle x=-{\frac {c}{a}}}$.

Способ 4 [эвристический]. Применим следующее соображение: «Если для объектов ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ найдутся такие ненулевые числа ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, что выполняется равенство ${\displaystyle \alpha A+\beta B=\left(\alpha +\beta \right)C}$, тогда ${\displaystyle A=B=C}$ либо же ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {C-B}{A-C}}}$ (${\displaystyle \alpha \neq \beta }$)», в истинности которого несложно убедиться. Уравнение ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ представим в виде ${\displaystyle ax^{2}+cx^{0}=b(-x^{1})}$. С учётом того, что ${\displaystyle a+c=b}$ и написанного выше, делаем вывод: ${\displaystyle x^{2}=x^{0}=-x^{1}}$, или, что то же самое, ${\displaystyle x=-x^{0}=-1}$. Второй (отличный от этого) корень ищется по формуле ${\displaystyle {\frac {x^{2}-(-x)}{-x-1}}={\frac {c}{a}}}$. Применяя основное свойство дроби (${\displaystyle x\neq -1}$) и свойство алгебраического равенства (умножение на ${\displaystyle -1}$), получим требуемый результат: ${\displaystyle x=-{\frac {c}{a}}}$.

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (${\displaystyle a+b+c=0}$), то корнями такого уравнения являются ${\displaystyle 1}$ и отношение свободного члена к старшему коэффициенту (${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$).

Доказательство

Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства ${\displaystyle a+b+c=0}$ следует, что ${\displaystyle b=-(a+c)}$ Установим количество корней:

${\displaystyle {\mathcal {D}}=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}.}$

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов ${\displaystyle (a-c)^{2}\geqslant 0}$, а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если ${\displaystyle a\not =c}$, то уравнение имеет два корня, если же ${\displaystyle a=c}$, то только один. Найдём эти корни:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {a+c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {a+c+a-c}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},}$

что и требовалось доказать.

В частности, если ${\displaystyle a=c}$, то уравнение имеет только один корень, которым является число ${\displaystyle 1}$.

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: ${\displaystyle a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0}$ - верное равенство, следовательно, единица - корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту - ${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}}$, ч.т.д.

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Если трёхчлен вида ${\displaystyle ax^{2}+bx+c~(a\not =0)}$ удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей ${\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0}$, то можно найти корни уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ — ими будут ${\displaystyle -{\frac {m}{k}}}$ и ${\displaystyle -{\frac {n}{l}}}$, действительно, ведь ${\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow {\biggl [}{\begin{array}{lcl}kx+m=0,\\lx+n=0,\end{array}}}$ а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)

Если квадратный трёхчлен имеет вид ${\displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}}$, то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

${\displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2},}$

${\displaystyle (ax+b)^{2}=0,}$

${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}.}$

Выделение полного квадрата суммы (разности)

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

1. прибавляют и отнимают одно и то же число:
   ${\displaystyle x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;}$.
2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
   ${\displaystyle (x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{2}})^{2}+q)=0,}$
   ${\displaystyle (x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;}$
3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
   ${\displaystyle x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}},}$
   ${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}.}$

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a = 1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см. ниже) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, будучи решением системы уравнений

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q,\end{cases}}}$

являются корнями уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$.

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета.

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad \mid \;\cdot a,}$

${\displaystyle (ax)^{2}+b(ax)+ac=0;}$

2) заменяем ${\displaystyle y=ax\colon }$

${\displaystyle y^{2}+by+ac=0.}$

Далее решаем уравнение относительно ${\displaystyle y}$ по методу, описанному выше, и находим ${\displaystyle x={\dfrac {y}{a}}}$.

Пример

${\displaystyle 5x^{2}-26x+5=0,}$

${\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {y}{5}},\\y^{2}-26y+25=0;\end{cases}}}$

Сумма коэффициентов при степенях введённого неизвестного ${\displaystyle y}$ равна нулю, поэтому

${\displaystyle y_{1}=1,\quad y_{2}=25.}$

Возвращаемся к «старой» переменной:

${\displaystyle x_{1}={\dfrac {1}{5}},\quad x_{2}=5.}$

Ответ: ${\displaystyle \left\{{\dfrac {1}{5}};\;5\right\}}$.

Графическое решение квадратного уравнения

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент ${\displaystyle a}$ положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент ${\displaystyle b}$ положительный (при положительном ${\displaystyle a}$, при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций ${\displaystyle y=f(x)}$ и ${\displaystyle y=g(x)}$ и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Приём I

Для решения квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ строится график функции ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью ${\displaystyle x}$.

Приём II

Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду ${\displaystyle ax^{2}=-bx-c}$ и строят в одной системе координат графики квадратичной функции ${\displaystyle y=ax^{2}}$ и линейной функции ${\displaystyle y=-bx-c}$, затем находят абсциссу точек их пересечения.

Приём III

Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду ${\displaystyle a(x+l)^{2}+m=0}$, используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в ${\displaystyle a(x+l)^{2}=-m}$. После этого строятся график функции ${\displaystyle y=a(x+l)^{2}}$ (им является график функции ${\displaystyle y=ax^{2}}$, смещённый на ${\displaystyle |l|}$ единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую ${\displaystyle y=-m}$, параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Приём IV

Квадратное уравнение преобразуют к виду ${\displaystyle ax^{2}+c=-bx}$, строят график функции ${\displaystyle y=ax^{2}+c}$ (им является график функции ${\displaystyle y=ax^{2}}$, смещённый на ${\displaystyle c}$ единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и ${\displaystyle y=-bx}$, находят абсциссы их общих точек.

Приём V

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

${\displaystyle {\dfrac {ax^{2}}{x}}+{\dfrac {bx}{x}}+{\dfrac {c}{x}}={\dfrac {0}{x}};}$

${\displaystyle ax+b+{\dfrac {c}{x}}=0;}$

затем

${\displaystyle ax+b=-{\dfrac {c}{x}}.}$

Совершив преобразования, строят графики линейной функции ${\displaystyle y=ax+b}$ и обратной пропорциональности ${\displaystyle y=-{\frac {c}{x}};\ (c\not =0)}$, отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если ${\displaystyle c=0}$, то приём не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

1. Построить в системе координат ${\displaystyle Oxy}$ окружность с центром в точке ${\displaystyle S\left(-{\dfrac {b}{2a}};{\dfrac {a+c}{2a}}\right)}$, пересекающую ось ${\displaystyle Oy}$ в точке ${\displaystyle C\left(0;\,1\right)}$.
2. Далее возможны три случая:
   • длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки ${\displaystyle S}$: в этом случае окружность пересекает ось ${\displaystyle Ox}$ в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
   • радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
   • радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$ нет.

Доказательство

Иллюстрация к доказательству.

Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках (точке), абсциссы которых являются корнями (или корнем) решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Пусть в случае, если корня два, это будут точки ${\displaystyle A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)}$, где ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, естественно, действительные корни квадратного уравнения (подчёркиваем: если они имеются). Найдём координаты центра такой окружности. Для этого докажем, что эта окружность проходит через точку ${\displaystyle D(0;{\frac {c}{a}})}$. Действительно, согласно теореме о секущих, в принятых обозначениях выполняется равенство ${\displaystyle OA\cdot OB=OC\cdot OD}$ (см рисунок). Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: ${\displaystyle OD={\dfrac {OA\cdot OB}{OC}}={\frac {x_{1}x_{2}}{1}}={\frac {c}{a}}}$ (в последнем преобразовании использована теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе)). Если же корень один, то есть ось абсцисс будет касательной к такой окружности, и окружность пересекает ось y в точке с ординатой 1, то она обязательно пересечёт её и в точке с указанной выше ординатой (в частности, если 1=c/a, это могут быть совпадающие точки), что доказывается аналогично с использованием уже теоремы о секущей и касательной, являющаяся частным случаем теоремы о секущих. В первом случае (${\displaystyle {\dfrac {c}{a}}\not =1}$), определяющими будут точка касания, точка оси y с ординатой 1, и её же точка с ординатой ${\displaystyle {\dfrac {c}{a}}}$. Если c/a и 1 - совпадающие точки, а корня два, определяющими будут эта точка и точки пересечения с осью абсцисс. В случае, когда (1=c/a) и корень один, указанных сведений достаточно для доказательства, так как такая окружность может быть только одна - её центром будет вершина квадрата, образуемого отрезками касательных и перпендикулярами, а радиус - стороне этого квадрата, составляющей 1. Пускай S - центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём его координаты: для этого опустим от этой точки перпендикуляры к координатным осям. Концы этих перпендикуляров будут серединами отрезков AB и CD - ведь треугольники ASB и CSD равнобедренные, так как в них AS=BS=CS=DS как радиусы одной окружности, следовательно, высоты в них, проведённые к основаниям, также являются и медианами. Найдём координаты середин названных отрезков. Так как парабола симметрична относительно прямой ${\displaystyle x=-{\dfrac {b}{2a}}}$, то точка этой прямой с такой же абсциссой будет являться серединой отрезка AB. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число - абсцисса центра. Её ординату найдём так: ${\displaystyle {\dfrac {CD}{2}}={\dfrac {OC+(OC+CD)}{2}}={\dfrac {OC+OD}{2}}={\dfrac {1+{\dfrac {c}{a}}}{2}}={\dfrac {a+c}{2a}}}$. В третьем из возможных случаев, когда c\a=1 (и, значит, a=c), то ${\displaystyle {\dfrac {c}{a}}=1={\dfrac {2a}{2a}}={\dfrac {a+c}{2a}}}$.

Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точке ${\displaystyle S(-{\dfrac {b}{2a}};{\dfrac {c+a}{2a}})}$, проходящую через точку ${\displaystyle C(0;1)}$, то она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня (предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше), если длины равны, то один (по той же причине), если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет (доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно).

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами ${\displaystyle a,~b,~c}$ всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными:

• при ${\displaystyle {\mathcal {D}}>0}$ уравнение будет иметь два вещественных корня:

  ${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}};}$

• при ${\displaystyle {\mathcal {D}}=0}$ — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):

  ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}};}$

• при ${\displaystyle {\mathcal {D}}<0}$ — два комплексно-сопряжённых корня, выражающихся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:

  ${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}={\dfrac {-b\pm i{\sqrt {|{\mathcal {D}}|}}}{2a}}.}$

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Корни приведённого квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида ${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$ в котором старший коэффициент ${\displaystyle a}$ равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.}$

Мнемонические правила:

• Из «Радионяни»:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасноеq.

• Из «Радионяни» (второй вариант):

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

• Из «Радионяни» (третий вариант на мотив Подмосковных вечеров):

Чтобы x найти к половине p,
Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p,
Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.

Теорема Виета

Основная статья: Теорема Виета

Формулировка для приведённого квадратного уравнения

Сумма корней приведённого квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту ${\displaystyle p}$, взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.}$

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:

Пример

${\displaystyle x^{2}-8x+12=0,}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=8,\\x_{1}x_{2}=12,\end{cases}}}$

${\displaystyle x_{1}=2,\quad x_{2}=6.}$

Для неприведённого квадратного уравнения

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\colon }$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a,\\x_{1}x_{2}=c/a.\end{cases}}}$

На практике (следуя методу «переброски») для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a&\mid \cdot a,\\x_{1}x_{2}=c/a&\mid \cdot a^{2};\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\\(ax_{1})(ax_{2})=ac,\end{cases}}}$

по которой можно устно находить ax₁, ax₂, а оттуда — сами корни:

Примеры

${\displaystyle 8x^{2}+2x-1=0,}$

${\displaystyle {\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=-2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=8\cdot (-1),\end{cases}}}$

${\displaystyle 8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=2,}$

${\displaystyle x_{1}=-{\tfrac {1}{2}},\quad x_{2}={\tfrac {1}{4}}.}$

${\displaystyle 8x^{2}-2x-3=0,}$

${\displaystyle {\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=-24,\end{cases}}}$

${\displaystyle 8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=6,}$

${\displaystyle x_{1}=-{\tfrac {1}{2}},\quad x_{2}={\tfrac {3}{4}}.}$

Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:

Пример

${\displaystyle 5x^{2}-26x+5=0,}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}={\tfrac {26}{5}}=5+{\tfrac {1}{5}},\\x_{1}x_{2}=1,\end{cases}}}$

${\displaystyle x_{1}={\tfrac {1}{5}},\quad x_{2}=5.}$

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$ (2)

Доказательство

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ образуют соотношения с его коэффициентами: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$. Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}})=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\\&=a(x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\\&=a(x-x_{1})(x-x_{2}).\end{alignedat}}}$

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)}$. Тогда, переписав это разложение, получим:

${\displaystyle (kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k}})n(x+{\frac {l}{n}})=kn(x-(-{\frac {m}{k}}))(x-(-{\frac {l}{n}}))}$.

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются ${\displaystyle -{\frac {m}{k}}}$ и ${\displaystyle -{\frac {l}{n}}}$. Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Следствие 2

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$, что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Для квадратичной функции:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) действительной переменной x, x — координаты точки, где график пересекает ось абсцисс, x = −1 и x = 2, являются решениями квадратного уравнения: x² − x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Алгебраические

Уравнение вида ${\displaystyle a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0}$ является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается методом введения новой переменной, то есть заменой ${\displaystyle f(x)=t,~t\in {\mathcal {E}}(f),}$ где ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ — множество значений функции ${\displaystyle f}$, c последующим решением квадратного уравнения ${\displaystyle a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0}$.

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

${\displaystyle f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}}$ и

${\displaystyle f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}}$

К примеру, если ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, то уравнение принимает вид:

${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0.}$

Такое уравнение 4-й степени называется биквадратным.

С помощью замены

${\displaystyle y=x+{\dfrac {k}{x}}}$

к квадратному уравнению сводится уравнение

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,}$

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение.

Дифференциальные

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

${\displaystyle y''+py'+qy=0}$

подстановкой ${\displaystyle y=e^{kx}}$ сводится к характеристическому квадратному уравнению:

${\displaystyle k^{2}+pk+q=0}$

Если решения этого уравнения ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

${\displaystyle y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}}$, где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — произвольные постоянные.

Для комплексных корней ${\displaystyle k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i}$ можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

${\displaystyle y=e^{k_{r}x}\left(A\cos k_{i}x+B\sin k_{i}x\right)=C{e}^{k_{r}x}\cos (k_{i}x+\phi }$