Круговая орбита

Круговая орбита — орбита, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центральной точки, создаваемая обращающимся вокруг неподвижной оси телом. Может рассматриваться как частный случай эллиптической орбиты при нулевом эксцентриситете. В Солнечной системе почти круговые орбиты у Венеры (эксцентриситет 0,0068) и Земли (эксцентриситет 0,0167).

Круговая орбита представлена в верхнем левом углу диаграммы. Гравитационный колодец центральной массы показывает потенциальную энергию; красным цветом показана кинетическая энергия. Высота области кинетической энергии остаётся постоянной при движении по окружности с постоянной скоростью.

Далее будет рассматриваться понятие круговой орбиты в астродинамике и небесной механике. Центростремительной силой является гравитационная сила. Указанная выше неподвижная ось проходит через притягивающий центр перпендикулярно плоскости орбиты.

Для данной орбиты не только расстояние от центра, но и линейная скорость, угловая скорость, потенциальная и кинетическая энергии являются постоянными. Перицентра и апоцентра нет. У круговой орбиты нет аналога среди радиальных траекторий.

Ускорение на круговой орбите

Нормальное ускорение (перпендикулярное скорости) изменяет направление вектора скорости. Если оно постоянно по величине и меняется вместе с направлением скорости, то мы имеем круговое движение. Выполняется следующее равенство:

${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r},}$

где

• ${\displaystyle v\,}$ — орбитальная скорость обращающегося тела,
• ${\displaystyle r\,}$ — радиус круговой орбиты,
• ${\displaystyle \omega \ }$ — угловая скорость, измеряемая в радианах в единицу времени.

Если единицей измерения ${\displaystyle \mathbf {a} }$ выбрать метры, делённые на секунду в квадрате, то единицей измерения ${\displaystyle v\,}$ будут метры в секунду, ${\displaystyle r\,}$ — метры, ${\displaystyle \omega \ }$ — радианы в секунду

Скорость

Относительная скорость является постоянной:

${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}},}$

где

• G — гравитационная постоянная,
• M — сумма масс обоих тел (M₁+M₂), хотя на практике, если масса одного из компонентов значительно превышает массу второго, то массой второго тела пренебрегают, что несильно сказывается на результате,
• ${\displaystyle \scriptstyle \mu =GM\,}$ — гравитационный параметр.

Уравнение движения

Уравнение орбиты в полярных координатах, показывающее в общем случае связь r и θ, упрощается до вида

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }},}$

где

• ${\displaystyle h=rv}$ — угловой момент обращающегося тела, приходящийся на единицу массы.

${\displaystyle \mu =rv^{2}}$.

Угловая скорость и орбитальный период

${\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=\mu ,}$

следовательно орбитальный период (${\displaystyle T\,\!}$) можно вычислить как

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}.}$

Сравним две пропорциональные величины, время свободного падения (время падения на точечную массу из положения в состоянии покоя)

${\displaystyle T_{ff}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$ (17.7 % периода обращения по круговой орбите)

и время падения на точечную массу по радиальной параболической траектории

${\displaystyle T_{par}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$ (7.5 % периода обращения по круговой орбите).

Тот факт, что формулы отличаются только константой, можно вывести из анализа размерностей.

Энергия

Орбитальная энергия (${\displaystyle \epsilon \,}$), рассчитанная на единицу массы, отрицательна,

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}=-\epsilon ,}$

${\displaystyle -{\mu \over {r}}=2\epsilon .}$

Следовательно, теорему о вириале можно применить даже без усреднения по времени:

• кинетическая энергия системы равна по модулю полной энергии,
• потенциальная энергия равна удвоенному значению полной энергии.

Скорость убегания равна круговой скорости, умноженной на √2: в таком случае сумма кинетической и потенциальной энергии обратится в ноль.

Орбитальная скорость в общей теории относительности

В метрике Шварцшильда орбитальная скорость для круговой орбиты радиуса ${\displaystyle r}$ определяется следующим выражением:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}},}$

где ${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ — радиус Шварцшильда центрального тела.

Вывод уравнения

Для удобства будем использовать единицы измерения, в которых ${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$.

4-вектор скорости для тела на круговой орбите задаётся выражением

${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$

(${\displaystyle \scriptstyle r}$ постоянно на круговой орбите, координаты можно выбрать таким образом, что ${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$). Точка над символом переменной обозначает производную по собственному времени ${\displaystyle \scriptstyle \tau }$.

Для массивной частицы компоненты 4-вектора удовлетворяют уравнению

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1.}$

Используем уравнение геодезической линии:

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0.}$

Единственное нетривиальное уравнение при ${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$:

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0.}$

Отсюда получаем

${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}.}$

Подставляем данное выражение в уравнение для массивной частицы:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1.}$

Следовательно

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}.}$

Предположим, что наблюдатель находится на радиуса ${\displaystyle \scriptstyle r}$ и не движется относительно центрального тела, то есть его 4-вектор скорости пропорционален вектору ${\displaystyle \partial _{t}}$.

${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

Произведение 4-векторов скорости наблюдателя и обращающегося тела приводит к выражению

${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}.}$

Отсюда получаем выражение для скорости:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

или, в единицах СИ,

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}.}$

Ссылки

• Lissauer, Jack J. Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability / Jack J. Lissauer, Imke de Pater. — New York, NY, USA : Cambridge University Press, 2019. — P. 604. — ISBN 9781108411981.